ユニタリー行列、エルミート行列などの意味と関係(メモ)

正方行列 AA について、
対称行列： A=A⊤A=A⊤
エルミート行列： A=A∗A=A∗
直交行列： AA⊤=IAA⊤=I
ユニタリー行列： AA∗=I

 

記号の意味、具体例

II は単位行列です。→単位行列の定義といろいろな性質

A⊤A⊤ は AA の転置行列です。A∗A∗ は随伴行列（共役転置行列）です。例えば A=(acbd)A=(abcd) に対して、A⊤=(abcd)A⊤=(acbd)、A∗=(a¯¯¯b¯¯c¯¯d¯¯¯)A∗=(a¯c¯b¯d¯) です。（a¯¯¯a¯ は aa の複素共役）

対称行列の例：(2331)(2331)

エルミート行列の例：(24−i4+i1)(24+i4−i1)

直交行列の例：⎛⎝12√−12√12√12√⎞⎠(1212−1212)

ユニタリー行列の例：⎛⎝12√i2√i2√12√⎞⎠(12i2i212)

行列の関係

実行列では、A⊤A⊤ と A∗A∗ は同じものなので、

・対称行列はエルミート行列でもある
・直交行列はユニタリー行列でもある

ことが分かります。また、

・対称行列は直交行列で対角化できる。
・エルミート行列はユニタリー行列で対角化できる。

ことが知られています。

その他の性質

・エルミート行列の対角成分は実数です。

・直交行列、ユニタリー行列の行ベクトルたちは、正規直交基底をなします。列ベクトルたちも正規直交基底をなします。→正規直交基底（定義、求め方、性質）

・対称行列、エルミート行列、直交行列、ユニタリー行列はいずれも A∗A=AA∗A∗A=AA∗ を満たします。この式を満たす行列を正規行列と言います。紹介した4種類の行列はいずれも正規行列ですが、他にも正規行列は存在します。

 

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